תשובה קצרה: לא. רכב וכל מקום ארעי לא צריך מזוזה. אמנם, מקום ארעי שגרים בו בקביעות כגון קרוואן על גלגלים, או בית נופש וכיו"ב שגרים בו 3 חודשים ומעלה – חייב במזוזה.
מקורות
בשולחן ערוך, יו"ד סי' רפו, סעיף א כתב: "אלו המקומות שחייבים במזוזה: אחד שערי בתים ושערי חצרות מדינות ועיירות; רפת בקר ולולין ואוצרות יין ושמן; ובית האשה ובית השותפים — כולם חייבים"
כלומר, המקומות שחייבים במזוזה הם דווקא בתים, או כניסה לבתים, ואפילו שערים שהם כניסה לכניסה של בית וכיו"ב. לעומת זאת, בסעיף יא כתב השו"ע: "סוכת החג בחג, והבית שבספינה, והחנויות שבשוקים — פטורים".
הצד השווה של מקומות אלו שהם מקומות ארעים לדירה: הסוכה היא בית ארעי, למרות שגרים בו במשך שבוע. הבית שבספינה, הוא עוד יותר 'ביתי' מהרכבים שלנו היום, ואף על פי כן – הוא פטור ממזוזה.
גם הרמב"ם (מזוזה פ"ו הלכה ט) כתב שבית ארעי פטור ממזוזה, ואף הסביר את טעמו, מפני שאינן קבועים לדירה:
בית הכסא ובית המרחץ ובית הטבילה ובית הבורסקי וכיוצא בהם פטורין מן המזוזה לפי שאינן עשויין לדירת כבוד סוכת חג בחג ובית שבספינה פטורין מן המזוזה לפי שאינן עשויין לדירת קבע שתי סוכות של יוצרים זו לפנים מזו החיצונה פטורה מן המזוזה לפי שאינה קבועה החנויות שבשוקים פטורין מפני שאינן קבועים לדירה.
כיון שהטעם הוא "מפני שאינם קבועים לדירה" יש לדון האם זהו דין כללי או פרטי, או אם תרצה לומר: הדין הוא 'בחפצא' של הבית, האם הוא מצד עצמו בנוי ונועד לביות קבוע לדירה. או שמא תאמר שהסיבה לפטור זה הוא מצד ה'גברא' – האנשים שנמאים בבתים אלו, אינם עושים זאת אלא בארעיות?
איפה הנפקא מינה בין שתי האפשרויות? במקרה שיש אנשים שכן גרים בקביעות במקומת אלו. כגון הומלס או נווד שעובר לגור ברכב שלו למשך כמה חודשים, וכיו"ב
אם זהו דין ב'גברא' הרי שסוף סוף הגברא, אותו אדם ספציפי אכן קבע את מושבות באותה סוכה\רכב\בית שעל הספינה.
אך אם זהו דין ב'חפצא' הרי שזהו הגדרה כללית, שלא תלויה כלל במנהג משונה כזה או אחר של אדם מסוים או קבוצת אנשים – לעולם מקומות אלו וכיוצא בהם נחשבים לדירת ארעי מפני שאינם נחשבים קבועים לדירה, ולכן הם יהיו פטורים ממזוזה.
וכתב על זה בערוך השולחן (שו"ע יו"ר סימן רפו סעיף כז):
ודע: דהא דסוכה פטורה מן המזוזה – זהו בסוכה שרק בסוכות יושבים בה, ולא בכל השנה. אבל סוכות שלנו העשויים בחדר שדרים בה כל השנה, ובסוכות נוטלים הגג ומסככין אותה, נראה דגם בסוכות חייבת במזוזה, שהרי על כל פנים היא דירה קבועה לכל השנה כולה (אפילו אם אין עליה משכנתא).
וכן יראה לי הך דבית שבספינה, זהו כשעשו בית עראי בספינה. אבל בספינות שלנו שיש בהם בתים קבועים, וגם בספינות ההולכות על הנהרות שיש בכל ספינה בית קבוע וקורין לה קאיוט"א – חייבת במזוזה, שהרי היא דירה קבועה.
ומכאן מקור למה שכתבנו. וכמובן שהדברים להלכה ולא למעשה, והרוצה לדעת מה לעשות במקרה הספציפי שלו – שישאל רב.